Математика и реальный мир. Как близко они стоят друг к другу. И как соотносятся одна с другим. С первого взгляда может показаться, что процесс абстрагирования в математике состоит просто- напросто в том, что мы отбрасываем все нематематические свойства вещей, оставляя математике описывать только абстрактную модель предмета. На самом деле, если математика по какой- либо причине начинает интересоваться, к примеру, деревом, то ее интересуют такие понятия, как диаметр, высота, может быть толщина коры, и совершенно отбрасывая такие свойства как цвет, местоположение, способ питания, как биологического объекта и т.д.. Это, в значительной степени, простой пример. Не всегда, реальные предметы обладают в точности теми свойствами, которыми их наделяет математика. (Например, форма нашей планеты Земля отлична от формы точного эллипса).
Поэтому математическая абстракция вовсе не сводится к простому отбрасыванию нематематических свойств и сохранению свойств математических. Теория абстракции не может правильно объяснить процесс образования математических понятий, хотя она и опирается на материалистические представления об абстракции. По мере углубления наших знаний о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира, возрастает и абстрактность самой математики и соответственно этому все более отдаленной становится связь ее отдельных понятий с действительностью.
И несмотря на это к помощи современной математики прибегают очень многие разделы науки и техники. Правильно понять, каким образом все более абстрактное понятие в математике дает возможность точнее отображать конкретную действительность, можно лишь на основе метода восхождения от абстрактного к конкретному.
В окружающем нас мире все предметы и явления находятся в различных взаимосвязях и отношениях друг с другом. Одни из этих связей имеют существенный характер, другие - несущественный. Чтобы понять сущность явлений объективного мира, необходимо отделить существенные связи от несущественных, рассмотреть явление в чистом виде. В опытных науках в этих целях нередко обращаются к эксперименту, который всегда проводится так, чтобы обеспечить ход процесса в чистом виде. В теоретических же науках нельзя пользоваться ни микроскопом, ни реактивами, то и другое должна заменить абстракция. В самом широком смысле слова абстракция означает возможность рассмотрения процессов и явлений с какой- либо одной точки зрения и отвлечения от других сторон. Таким образом абстрактное можно считать синонимом односторонности, бедности содержания, неразвитости, неконкретности. В естествознании и математике под абстрагированием, как правило, понимают процесс мысленного выделения одного или нескольких свойств, которые в данной связи рассматриваются как особо важные по сравнению со всеми другими свойствами. Отвлечение тех или иных свойств вещей и наделение вещей свойствами, которые в определенной степени огрубляют их природные свойства, дает возможность лучше изучить эти свойства и отношения, а через них и сами вещи. Так , например, замена реальных тел в механике абсолютными твердыми телами, а иногда просто материальными точками помогает нам глубже изучить процессы, связанные с механическим движением. Точно так же рассмотрение количественных отношений и пространственных форм обособленно от качественной природы предметов помогает глубоко проникнуть в сущность явлений и отношений действительности.